Kamis, 10 September 2015

Bilangan Prima ( Bagian 3)

Kalian pasti sudah mengenal bilangan Prima (Prime Number). Bilangan prima adalah bilangan Asli yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Contoh 2, 3, 5, dan seterusnya. Bilangan 1 bukan bilangan Prima karena hanya mempunyai satu faktor. Bilangan yang bukan 1 dan bukan bilangan Prima disebut bilangan komposit. Salah satu dalil yang terkenal berbunyi, Setiap bilangan komposit merupakan perkalian bilangan-bilangan Prima. Dalil tersebut dikenal sebagai Teorema Dasar Aritmetika. Nah, berapa banyak bilangan Prima yang kalian tahu?

Eratosthenes mempunyai suatu metode untuk mendapatkan bilangan prima pada rentang tertentu. Metode itu diberi nama saringan Eratosthenes (Eratosthenes Sieve). Misalkan kita akan mencari bilangan Prima yang kurang dari n, dengan n bilangan Asli, maka modal kita adalah bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan $\sqrt{n}$ . Sebagai contoh, kita akan mencari bilangan Prima di antara 1 dan100. Kita tahu bahwa $\sqrt{100}=10$ , dan bilangan Prima yang kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, dan 7. Selanjutnya kita daftarkan bilangan 1 sampai 100 dalam tabel 10 x 10. Kemudian lakukan langkah berikut:

Coret angka 1
Coret semua bilangan kelipatan 2, kecuali 2
Coret semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3. Pada langkah ini, bilangan yang sudah dicoret tidak perlu dicoret lagi.
Coret semua bilangan kelipatan 5, kecuali 5.
Coret semua bilangan kelipatan 7, kecuali 7. Pada langkah ini bilangan yang dicoret hanya 49, 77, dan 91.

Cukup sampai 7, karena Prima terbesar yang kurang dari $\sqrt{100}$ adalah 7. Bilangan yang tidak tercoret merupakan bilangan Prima. Sampai di sini kita dapatkan bilangan Prima yang terletak di antara 1 dan 100, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97. Ada 25 bilangan prima antara 1 dan 100. Kalian bisa mempercepat proses itu dengan bantuan excel. Lihat caranya pada bagian bawah.

Secara umum, jika kita akan mencari bilangan Prima dari 1 sampai bilangan n, maka kita cari dulu bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan $\sqrt{n}$ . Setelah itu lakukan langkah-langkah pencoretan bilangan seperti di atas sampai pada bilangan prima yang kurang dari $\sqrt{n}$ tersebut. Pada contoh di atas $\sqrt{100}=10$ , dan bilangan prima yang kurang dari atau sama 10 adalah 7. Jadi, pencoretan bilangan dari 1 sampai 100 berhenti di kelipatan bilangan 7. Anda bisa mencoba untuk bilangan Prima yang kurang dari 200.

Sejak dulu banyak matematikawan yang berusaha membuat rumus untuk mencari bilangan Prima. Pada kasus tertentu rumus itu benar, tetapi pada kasus yang lain ternyata salah. Oleh karena itu, sampai saat ini belum ada rumus yang dalam waktu singkat dapat menentukan bilangan Prima. Meskipun demikian, kita tentu kagum dengan upaya para matematikawan tersebut karena pencarian itu membawa mereka belajar banyak hal.
Beberapa rumus yang menghasilkan bilangan Prima untuk beberapa kasus adalah sebagai berikut:

$F(n) = n^2-n+41$ untuk n bilangan Asli. Rumus ini menghasilkan bilangan Prima untuk n=1,2,,3,dst, tetapi untuk n=41 rumus tersebut gagal karena menghasilkan 412 yang jelas bukan merupakan bilangan Prima.
$F(n)=2^{2^n}+1$ untuk n bilangan Asli. Rumus ini diciptakan oleh Fermat, seorang Matematikawan dari Perancis. Rumus tersebut memberikan bilangan Prima untuk n=0,1,2,3,dan 4 , tetapi gagal untuk n=5 dan n=6.
$F(p)=2^p-1$ dengan p bilangan Prima yang telah diketahui. Rumus ini diciptakan oleh Marsenne. Untuk beberapa nilai p rumus tersebut menghasilkan bilangan Prima, tetapi untuk p=11 rumus tersebut menghasilkan bilangan komposit (bukan Prima).

Jadi, sampai saat ini cara yang meyakinkan adalah menggunakan saringan Eratosthenes.

Ada berapa banyak bilangan Prima? Euclides dari Yunani membuktikan bahwa ada tak hingga banyak bilangan Prima. Meskipun demikian, para ahli matematika sepanjang masa berusaha mencari terus bilangan Prima yang lebih besar dari yang diketahui saat ini. Pencarian bilangan Prima merupakan salah satu pekerjaan yang menyenangkan bagi beberapa pakar matematika dan komputer. Pencarian ini seperti mendaki Puncak Everest, kata George Woltman, seorang pakar ilmu komputer. Bedanya, Everest memilik puncak sehingga pendakian suatu saat berhenti, sedangkan bilangan Prima tidak akan tidak akan terhenti karena memang tidak ada bilangan Prima terbesar. Artinya, jika sekarang ditemukan bilangan Prima lebih dari bilangan prima yang telah diketahui, maka kelak pasti akan ditemukan lagi bilangan Prima yang lebih besar.

Harian Kompas tanggal 6 Februari 2013 memberitakan penemuan bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia saat ini. Bilangan Prima tersebut adalah $2^{57.885.161}-1$ . Ini merupakan bilangan Prima yang masuk kelompok bilangan Prima Marsenne, yaitu bilangan Prima yang berbentuk $2^p-1$ . Bilangan Prima tersebut memiliki 17.425.170 digit (angka). Kita bisa bayangkan betapa panjangnya bilangan tersebut jika ditulis di kertas. Jika menggunakan ukuran huruf seperti pada tulisan di buku ini, maka bilangan Prima tersebut panjangnya sekitar 34,85 km.

Bilangan prima terbesar ini ditemukan oleh matematikawan dari University of Central Missouri, Curtis Cooper. Bilangan prima ini adalah bilangan prima besar ketiga yang berhasil ditemukan oleh Cooper. Penemuan bilangan prima terbesar dilakukan lewat upaya kolektif lewat Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), misi yang dibantu 360.000 prosesor, mengoperasikan 150 triliun penghitungan per detik. Proses pengecekan lewat komputer dilakukan untuk mengonfirmasi penemuan. Atas penemuannya tersebut Curtis Cooper memperoleh hadiah $ 3000. Bilangan Prima bentuk Marsenne dapat dilihat di http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima_Mersenne
Sebelumnya bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia adalah $2^{43.112.609}-1$ yang ditemukan pada tahun 2008. Bilangan ini memiliki 12.978.189 digit. Proses menemukan bilangan Prima tersebut dapat dilakukan dengan cara Saringan Eratosthenes. Namun, butuh waktu bertahun-tahun untuk mendapatkan bilangan Prima berikutnya. Barangkali tidak akan selesai seumur hidup manusia. Oleh karena itu, komputer canggih dengan kecepatan luar biasa diperbantukan untuk mencari bilangan Prima tersebut. Ini pun membutuhkan komputer dalam jumlah yang banyak.

Fakta lain yang menarik dari bilangan Prima adalah bilangan Prima kembar (Twin Prime Numbers), yaitu dua bilangan Prima yang berurutan. Sebagai contoh (2,3), (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (18383549,18383551) dan seterusnya. Pertanyaannya adalah: Apakah pasangan bilangan Prima kembar tersebut ada berhingga buah atau ada tak hingga buah? Sampai saat ini belum ada matematikawan yang berhasil menjawab pertanyaan tersebut.

Nah, jika kalian berminat mencari bilangan Prima yang cukup besar, kita bisa manfaatkan Microsoft Excel dengan modal bilangan Prima yang sudah kita tahu dari saringan Eratosthenes, yaitu 2, 3, … ,97. Cara yang akan kita gunakan pun menggunakan saringan Eratosthenes. Dengan modal bilangan Prima yang kurang dari 100 tersebut, kita bisa mencari semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Mengapa bisa begitu? Ingat untuk mencari bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita harus mempunyai bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan $\sqrt{n}$ . Jad, jika kita mempunyai semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita bisa mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan $n^2$ .

Untuk keperluan tersebut, kita pelajari dulu operasi MOD. Mod adalah operasi Aritmetika untuk mencari sisa hasil bagi dari dua buah bilangan. Misalnya, 16 Mod 3 = 1 karena 16 dibagi 3 (hasilnya 5) sisanya 1. Jadi, 15 mod 3 = 0 (dengan kata lain 15 habis dibagi 3 atau 3 adalah faktor dari 15), 23 mod 4 = 3 (dengan kata lain 23 tidak habis dibagi 3 atau 3 bukan faktor dari 23).

Konsep yang harus dipahami untuk mencari bilangan Prima yang lebih dari 100 dan kurang dari atau sama dengan 10.000 adalah: Jika bilangan tersebut habis dibagi 2, 3, … ,97, maka bilangan tersebut BUKAN bilangan Prima. Misalnya kita akan memeriksa apakah 101 bilangan Prima atau bukan, maka harus dicek 101 mod 2, 101 mod 3, 101 mod 5, …, 101 mod 11. Jika hasil salah satu operasi di atas sama dengan nol, maka 101 bukan bilangan Prima (komposit). Sebaliknya, jika hasil semua operasi di atas tidak sama dengan nol (≠0), maka 101 adalah bilangan Prima.
Langkah pertama adalah menuliskan bilangan ganjil dari 101 sampai 10.000 pada kolom A (Ingat bilangan Prima yang kurang dari 100 sudah kita tahu). Pada sel B1 ketik:
=IF(OR(MOD(A101;2)=0;MOD(A101;3)=0;MOD(A101;5)=0;MOD(A101;7)=0;MOD(A101;11)=0;MOD(A101;13)=0;MOD(A101;17)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;23)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;31)=0;MOD(A101;37)=0;MOD(A101;41)=0;MOD(A101;43)=0;MOD(A101;47)=0;MOD(A101;51)=0;MOD(A101;53)=0;MOD(A101;59)=0;MOD(A101;61)=0;MOD(A101;67)=0;MOD(A101;71)=0;MOD(A101;73)=0;MOD(A101;79)=0;MOD(A101;83)=0;MOD(A101;89)=0;MOD(A101;91)=0;MOD(A101;91)=0;);”—“;”Bil. Prima”)
Copy sel B1 pada B2, B3, dan seterusnya. Maka kita mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Ada 1207 bilangan Prima yang didapat. Jika digabung dengan hasil sebelumnya (bilangan Prima yang kurang dari 100) maka kita memperoleh 1232 bilangan Prima.

Perintah OR dalam Excel adalah memilih salah satu atau semuanya. Sintak perintahnya adalah =OR(pilihan_1;pilihan_2,…,pilihan_k). Perintah MOD dalam Excel adalah untuk mencari sisa pembagian suatu bilangan. Sintak perintahnya adalah =MOD(bilangan yang dibagi;bilangan pembagi). Contoh =MOD(14;5) akan menghasilkan 4.
Dengan hasil tersebut kita juga bisa mendapatkan bilangan Prima kembar. Jika kalian tertarik, maka pencarian berikutnya adalah bilangan Prima yang kurang dari 100.000.000 dengan modal bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Tentu membutuhkan waktu yang lama untuk mengetik perintah di Excel. Dengan melakukan peekrjaan tersebut, kalian sudah menyerupai pekerjaan Curtis Cooper.
Dengan cara yang sama, kita bisa memeriksa pada n atau p berapa rumus-rumus $F(n) = n^2-n+41$ , $F(n)=2^{2^n}+1$ , dan $F(p)=2^p-1$ menghasilkan bilangan Prima dan bukan bilangan Prima.
Untuk apa matematikawan mencari bilangan Prima yang sangat besar? Sebenarnya itu merupakan salah satu kesenangan. Namun di balik itu, bilangan Prima yang besar digunakan untuk membuat sandi. Gagasannya sederhana, jika kita mempunyai dua bilangan Prima, maka mudah bagi kita untuk mengalikannya. Tetapi jika kita mempunyai bilangan komposit (hasil perkalian sejumlah bilangan Prima yang besar), maka sangat sulit bagi siapa pun untuk memfaktorkannya. Sandi diperlukan jika kita akan mengirim suatu pesan, tetapi pesan itu tidak ingin diketahui oleh pihak musuh. Untuk memahami hal tersebut, silakan download dihttp://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/01/matematika-persandian.pdf.

Penemu Angka Nol: Muhammad bin Musa Al Khawarizmi

Dunia Eropa atau “Dunia Barat” dari dulu hingga kini, sepertinya mengklaim bahwa Gudang Ilmu Pengetahuan berasal dari kawasan Eropa atau ‘dunia barat’.

Tapi tahukah anda, sejatinya asal Gudang Ilmu Pengetahuan berasal dari kawasan Timur Tengah yaitu Mesopotamia yang menjadi peradaban tertua di dunia?

Masyarakat dunia sangat mengenal Leonardo Fibonacci sebagai ahli matematika aljabar.

Namun, dibalik kedigdayaan Leonardo Fibonacci sebagai ahli matematika aljabar ternyata hasil pemikirannya sangat dipengaruhi oleh ilmuwan Muslim bernama

Muhammad bin Musa Al Khawarizmi.

Dia adalah seorang tokoh yang dilahirkan di Khiva (Iraq) pada tahun 780. Selama ini banyak kaum terpelajar lebih mengenal para ahli matematika Eropa / Barat padahal sejatinya banyak ilmuwan Muslim yang menjadi rujukan para ahli matematika dari barat.

Namun pada masa kejayaan Islam, mereka tak memperlakukan suatu penemuan atau suatu keilmuan baru, menjadi ajang pengeruk keuntungan. Artinya, pada masa itu tak ada yang dinamakan “HAK PATENT” yang bertujuan untuk mambayar sejumlah uang jika penemuannya digunakan oleh pihak lain.

Hak patent adalah “produk Barat”, dimana pada masa lalu banyak sekali penemu dari dunia Islam. Kemudian buku dan literatur penemu-penemu di dunia Islam ini kembali dibaca dan dipelajari, lalu para penemu barat mempetenkannya! Itulah sebabnya hanya dikenal ilmuwan dari dunia Barat yg sebenarnya ilmu-ilmu tersebut dari masa kejayaan Islam.

Selain ahli dalam matematika al-Khawarizmi, yang kemudian menetap di Qutrubulli (sebalah barat Bagdad), juga seorang ahli geografi, sejarah dan juga seniman. Karya-karyanya dalam bidang matematika dimaktub dalam Kitabul Jama wat Tafriq dan Hisab al-Jabar wal Muqabla. Inilah yang menjadi rujukan para ilmuwan Eropa termasuk Leonardo Fibonacce serta Jacob Florence.

Muhammad bin Musa Al Khawarizmi inilah yang menemukan angka 0 (nol) yang hingga kini dipergunakan. Apa jadinya jika angka 0 (nol) tidak ditemukan? Tak akan ada rumus Einstein dan rumus lainnya, bahkan tak akan ada ilumu matematika semaju sekarang.

Selain itu, dia juga berjasa dalam ilmu ukur sudut melalui fungsi sinus dan tanget, persamaan linear dan kuadrat serta kalkulasi integrasi (kalkulus integral). Tabel ukur sudutnya (Tabel Sinus dan Tangent) adalah yang menjadi rujukan tabel ukur sudut saat ini.

al-Khawarizmi juga seorang ahli ilmu bumi. Karyanya Kitab Surat Al Ard menggambarkan secara detail bagian-bagian bumi. CA Nallino, penterjemah karya al-Khawarizmi ke dalam bahasa Latin, menegaskan bahwa tak ada seorang Eropa pun yang dapat menghasilkan karya seperti al-Khawarizmi ini.

Misteri Bilangan Lubang Hitam : 123

alam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi "tidak kelihatan".

Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka.

Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.

Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123.

Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos.

Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan.

Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?

Skala Angka Pengukuran dalam Pandangan Statistik

Skala pengukuran merupakan, satu pengetahuan yang sangat penting sebelum seseorang melakukan pengolahan data. Skala pengukuran pertama kali diperkenalkan oleh S.S. Steven. Namun, sering kali hal ini dianggap remeh dan diabaikan. Pada dasarnya setiap tools (alat bantu hitung) statistik tidak bisa digunakan begitu saja, ada persyaratan (asumsi yang harus dipenuhi), misalnya : skala data, distribusi data, independensi data, dan variabilitas data.

Berdasarkan sifatnya, ada empat pembedaan skala :

1. Skala nominal

Sifat : membedakan.
Contoh : jenis kelamin (laki-laki, perempuan), agama (Islam, Katolik, Kristen, Hindu, Budha).
Contoh metode statistik : chi-square, crostab, analisis korespondensi, regresi logistik, latent profile analysis.

2. Skala ordinal

Sifat : membedakan, ada urutan.
Contoh : tingkat pendidikan (SD, SMP, SMU, Perguruan tinggi), nilai akreditasi (A, B, C, D, E).
Contoh metode statistik : korelasi spearman, ordinal logistic regression, attribute agreement analysis.

3. Skala interval

Sifat : membedakan, ada urutan, memiliki jarak yang sama.
Contoh : usia, skor penilaian test psikologi.
Contoh metode statistik : korelasi pearson, analisis regresi, analisis faktor, K-means cluster, diskriminan.

4. Skala rasio

Sifat : membedakan, ada urutan, memiliki nilai nol mutlak.
Contoh : nilai penjualan (sales), jumlah pelanggan.
Contoh metode statistik yang dapat digunakan :korelasi pearson, analisis regresi, analisis faktor, K-means cluster, analisis diskriminan, analisis time series.

Filosofi Bilangan Prima (Bagian 1)

Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld - yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta.

Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan

Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.

Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.

Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima. Misalnya :

6 = 2 x 3 = 2 . 3
30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 585 = 5 x 17 = 5 . 17

Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :

(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)

dan seterusnya.

Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat "kode kosmos" atau yang disebut cosmic code based on this order, yang dikenal juga sebagaiTheory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.

Selasa, 08 September 2015

Lapangan Pekerjaan Menarik Menggunakan matematika

Pertanyaan paling jamak dan sering dikemukakan oleh siswa adalah apa manfaat belajar matematika? Pekerjaan apa yang nantinya terkait dengan ilmu matematika yang saat ini saya pelajari?

Setiap kali kita memikirkan pekerjaan yang melibatkan matematika, mungkin secara otomatis kepikiran seorang akuntan, atau manajer bank, atau sesuatu yang seperti itu. Padahal sebenarnya ada beberapa pekerjaan lain yang memerlukan penggunaan matematika yang mungkin tampak sedikit lebih menarik.
Inilah beberapa pekerjaan yang menggunakan matematika:

Pembalap

Berapa kecepatan terakhir saya di lap sebelumnya? Berapa banyak detik saya tertinggal atau meninggalkan? Berapa banyak lap yang bisa saya tempuh dengan tangki penuh? Seberapa cepat saya bisa membuat pit-stop? Berapa banyak tenaga kuda yang dihasilkan mesin ini? Apakah yang dimaksud tenaga kuda? Berapa banyak yang dapat RPM mesin saya membuat sebelum redline? Apa itu RPM? Berapa banyak tekanan udara yang saya perlukan untuk ban saya? Berapa tekanan oli mesin kendaraan saya? Semua ini menggunakan matematika.

Astronot / Bekerja di Industri Ruang Angkasa
Apakah yang dimaksud escape velocity? Seberapa tinggi orbit Space Shuttle? Berapa banyak waktu yang dibutuhkan sampai peluncuran? Berapa jam penerbangan yang harus saya lakukan agar memenuhi syarat? Seberapa dingin di luar atmosfer bumi? Apa yang dimaksud dengan kekuatan gravitasi? Berapa banyak kekuatan yang dihasilkan oleh roket pendorong? Berapa diameter bumi? Seberapa jauhkah planet Mars? Semua ini menggunakan matematika.

Pilot pesawat tempur
Seberapa tinggi aku terbang? Berapa kecepatan maksimum pesawat? Berapa banyak bahan bakar yang saya miliki? Seberapa jauh saya dapat terbang dengan tangki penuh? Jika musuh berada di pukul 5 apa artinya? Bagaimanpa arah dan kecepatan angin? Apakah yang dimaksud dengan F14? Berapa banyak rudal yang masih tersisa? Ke arah mana aku terbang? Apakah yang dimaksud kecepatan super sonic? Apa itu altimeter? Berapa besar derajat putaran yang saya butuhkan? Seberapa jauh posisi saya dari target atau markas? Semua ini menggunakan matematika.

Komentator Olahraga
Berapa banyak gol per pertandingan yang dia torehkan? Dari jarak berapa meter dia menembak? Seberapa cepat smash yang dilakukannya? Berapa banyak waktu yang tersisa dalam pertandingan? Dimana hasil ini akan menempatkan mereka di klasemen liga? Berapa peluang mereka lolos babak kualifikasi? Semua ini menggunakan matematika.

Radio DJ atau Engineer Radio
Berapa menit tersisa untuk lagu berikutnya? Kapan iklan komersial selanjutnya? Berapa banyak watt hal ini stasiun radio menghasilkan? Apakah arti FM atau AM? Jika stasiun radio berada di 104,4 FM apa artinya? Apakah waktu itu? Dapatkah saya memainkan musik 40 menit nonstop? Semua ini menggunakan matematika.

Photographer
Berapa ukuran lensa yang saya perlukan? Seberapa jauh jarak saya dengan objek gambar? Berapa banyak intensitas cahaya? Berapa sudut tembak yang saya ambil? Seberapa jauh saya harus memperbesar atau memperkecil? Film Berapa banyak yang saya butuhkan? Rekaman Berapa banyak yang tersisa?
Semua ini menggunakan matematika.

Banyak ide-ide pekerjaan yang menggunakan Matematika. Contoh di atas hanya sebagian kecil ide untuk membukakan pikiran tentang seberapa penting penggunaan matematika yang kita pelajari di sekolah dalam kehidupan nyata sehari-hari.
Semoga tulisan saya tentang Lapangan Pekerjaan Menarik Menggunakan matematika ini dapat memberikan manfaat. Terima kasih.

Download Materi PowerPoint Kelas X, XI, dan XII

Selamat pagi, Thinkers....

Dalam rangka untuk mempermudah siswa dalam mengakses ilmu pengetahuan, khususnya pada mata pelajaran matematika SMA/MA maka saya sharing Media Pembelajaran PowerPoint matematika sebagai berikut :

Silahkan download modul tersebut dan semoga dapat memberikan manfaat buat kemajuan pendidikan di Indonesia.

Minggu, 06 September 2015

Biografi dr Lo Siaw Ging - Dokter Teladan

Hampir semua masyarakat Solo pasti sudah tahu atau mengenal nama dr Lo Siaw Ging, Dokter yang satu ini menjadi buah bibir di Solo maupun di media karena kedermawanannya, meskipun usianya yang sudah lanjut, selama ia berpraktik menjadi dokter, ia tidak pernah meminta bayaran dari pasien yang ia obati, bahkan terkadang ia membantu pasien yang tidak mampu menebus obat dengan uang yang dimiliki

Rabu, 02 September 2015

Mitos-Mitos Tentang Jurusan IPS yang Tak Seharusnya Kamu Percaya

Hidup adalah rangkaian keputusan-keputusan penting. Bahkan sejak masih duduk di bangku SMA, kita sudah dituntut menentukan arah hidup dengan memilih jurusan: IPA, IPS, atau Bahasa. Ini bukan keputusan main-main. Pilihanmu akan menentukan jurusan kuliah yang nantinya kamu ambil.
Bagi yang memilih atau berencana memilih jurusan IPS, kamu akan kerap mendengar berbagai omongan tak enak di telinga. Jurusan IPS memang gudangnya mitos. Buat kamu yang sedang belajar di jurusan IPS, atau yang berencana memilih jurusan ini saat penjurusan, please, jangan gentar ya. Jangan percaya mitos-mitos di bawah ini begitu saja!

1. “Jangan Masuk IPS , IPS Itu Isinya Anak-Anak Nakal!”

Belum tentu anak nakal, dan belum tentu anak IPS….

Entah sejak kapan mitos ini berkembang, anak IPS memang sering dipandang sebagai pelajar nakal. Kamu pun bukan tidak mungkin mendapat stigma ini ketika masuk jurusan IPS. Barangkali ini karena ada temanmu sesama anak IPS yang terkenal sebagai “preman sekolah” atau “anak geng”.
(ngobrol sama kenalan dari sekolah lain)

Teman: “Ambil jurusan apa?”
Kamu: “IPS dong.”
Teman: “Wuih, sekelas sama si Anu dong?” (nama disamarkan, pokoknya dia preman sekolah)
Kamu: “Iya…”
Teman: (dalam hati: Nih bocah…jilbaban tapi gahar juga ya? Temenannya sama preman.)

Mungkin dia lupa. Anak IPA juga banyak yang ikut tawuran. Lagipula, dengan level keberanian dan kemampuan bela diri yang kamu miliki, satu-satunya peran yang mungkin kamu ikuti dalam tawuran adalah seksi konsumsi buat bikinin minum.
YA KALI TAWURAN ADA BREAK MINUM :”)
Dalam kelas IPS juga banyak anak yang serius belajar dan berprestasi, kok. Di kelas IPA juga ada anak nakalnya. Melabeli semua anak IPS sebagai “anak nakal” tentu bukan perilaku adil.

2. “Kamu Masuk IPS Karena Nilainya Gak Cukup Ya Buat Masuk IPA?”

Banyak yang tidak tahu kamu memilih masuk IPS via wwwheriyanti-heriyanti.blogspot.com

(3 bulan sebelum penjurusan di Ruang BK)

Guru BK: “Kamu yakin mau masuk IPS? Nilaimu cukup lho buat masuk IPA…”
Kamu: “Iya Bu, yakin kok.”
Guru BK: “Oke, pilih IPS ya berarti.”

Sering dikira nilainya nggak cukup untuk masuk IPA via gtpapschallengessept2011.pbworks.com

(3 bulan setelah penjurusan)

Anak IPA 1: “Eh, si Jali kenapa sih masuk IPS? Nilainya gak cukup ya buat masuk IPA?”
Anak IPA 2: “Mungkin iya deh. Nilai Kimianya sih bagus terus, nggak tahu deh Fisika sama Biologinya gimana.”
Anak IPA 1: “Yah, kasian yah… Jadi masuk IPS deh.”

*Kamu yang sedang jalan mau ke kantin lewat di depan mereka*

Anak IPA 1&2: *memandangmu dengan tatapan iba*

Tidak semua orang percaya bahwa keputusanmu mengambil jurusan IPS adalah berdasarkan PILIHAN, bukan KEADAAN. Rasanya pengen bilang:

“Mas, saya juga bisa masuk IPA Mas. Tapi emang milih masuk IPS. Kalau lihat nilai mata pelajaran IPA saya nanti pengen tukeran raport loh. Huft.”

3. “Masuk IPS? Nanti Sempit Lho Pilihan Jurusan Kuliahnya…”

Kalau boleh jujur, pilihan jurusan yang khusus IPA juga nggak banyak-banyak amat. Mari kita bandingkan:

Kedokteran, Jurusan favorit anak-anak IPA via nurulichiarsya.blogspot.com

Pilihan Jurusan Khusus Anak IPA:

Jurusan Teknik: Teknik Mesin, Teknik Elektro, Teknik Sipil, Teknik Nuklir, dll.
Jurusan di Fakultas MIPA: Biologi, Kimia, Fisika, Matematika, Statistik
Jurusan Perikanan
Jurusan Pertanian
Jurusan di Fakultas Kehutanan
Kedokteran, Keperawatan, Gizi Kesehatan

Fakultas Hukum dan FISIP, idola anak IPS via agungharis.wordpress.com

Pilihan Jurusan Khusus Anak IPS:

Jurusan Ekonomi: Ilmu Ekonomi, Akuntasi, Manajemen
Jurusan Sosial: Ilmu Politik dan Pemerintahan, HI, Sosiologi
Jurusan Ilmu Komunikasi
Jurusan Ilmu Hukum
Semua Jurusan Sastra
Jurusan Antropologi
Jurusan Filsafat
Jurusan Psikologi

Sebenarnya jurusan khusus anak IPA jumlahnya tidak lebih banyak dari jurusan yang bisa dimasuki anak IPS. Anak IPA memang umum “menyeberang” ke Jurusan IPS lewat program IPC, tapi bukan berarti pilihan jurusan kuliah anak IPS itu sempit. Justru jurusan-jurusan IPS adalah jurusan yang menarik, hingga anak IPA ingin turut bersaing mendapatkannya.

4. “Jurusan IPS itu Pelajarannya Gampang.”

Tidak saudara, tidak mudah! via padmanaba.or.id

Beban pelajaran IPS, IPA, dan Jurusan Bahasa sebenarnya sama. Yang membedakan adalah fokus belajarnya. Anak IPA mempelajari ilmu-ilmu eksakta yang melibatkan banyak hitungan dan menantang logika. Anak Bahasa dididik untuk mengembangkan kemampuan verbal dan memperkaya diksi. Sedang anak IPS diajari untuk mengembangkan kemampuan analisa dan kepekaan terhadap fenomena sosial.
Tidak ada yang lebih “gampang” dari semua jurusan yang tersedia. Lagipula, bukankah ‘gampang’ dan ‘sulit’ itu tergantung kita?
Buat anak IPA, belajar Sejarah dan Geografi bisa membuat mereka senewen. Lebih mudah menghitung volume air dan menghafal tabel periodik. Untuk anak IPS, pelajaran IPA memang terlihat memusingkan. Tapi ini karena mereka memang tidak diajarkan menghitung kelembaman relatif ataupun optika fisis.

5. “Pasti Kamu Masuk IPS Biar Gak Ketemu Hitung-Hitungan.”

Jangan salah sangka, hitung-hitungan itu tetap perlu via padmanaba.or.id

Sebentar.

IPS juga punya pelajaran Matematika, yang kini juga di UN-kan. Di IPS juga ada Akuntansi dan Ekonometri, yang sama-sama membutuhkan kemampuan berhitung. Anak IPS tetap harus berhubungan dengan angka dan logika berhitung. Bedanya, kemampuan berhitung anak Jurusan IPS memang tidak disiapkan untuk hitung-hitungan eksakta.
Jadi, kalau kamu masuk IPS karena ingin menghindari pelajaran berhitung, bersiaplah untuk sakit hati ya!

6. “Anak IPS Pasti Hapalannnya Kuat Ya?”

Tidak semua anak IPS hapalannya kuat via krjogja.com

Orang kadang salah menyangka, mengira pelajaran IPS bisa dimengerti hanya dengan menghapalnya. Padahal pelajaran di Jurusan IPS bukan semata (atau malah bukan sama sekali) soal hapalan. Anak IPS sebenarnya dibentuk untuk mampu melakukan analisa dan memiliki kemampuan riset.
Dalam pelajaran Sosiologi, anak IPS akan diajak memahami teori-teori sosial yang bisa digunakan sebagai pisau analisa untuk melihat berbagai fenomena sosial yang ada, seperti menjamurnya mall dan pengaruhnya terhadap perilaku konsumtif masyarakat, relevansi nasionalisme di tengah gencarnya globalisasi dan populernya teori kosmopolitanisme, atau pengaruh Instagram terhadap bagaimana kita menentukan pilihan makanan.
Bagaimana caranya menghapal hal-hal di atas?
Di mata pelajaran Ekonomi dan Akuntansi anak IPS belajar tentang berbagai teori ekonomi dan manajemen keuangan. Tujuannya tentu bukan untuk sekedar tahu, teori dan kemampuan ini kelak bisa dimanfaatkan untuk mengamati tren ekonomi, pun sebagai alat bantu untuk menganalisa kondisi keuangan sebuah badan usaha.
Ilmu Sosial tak akan berguna kalau sekadar dihapal. Mereka juga harus dapat digunakan untuk menjelaskan berbagai fenomena sosial. Sesungguhnya kalau soal hapal-menghapal, anak-anak Kedokteran, Biologi, dan Kimia yang notabene pasti anak IPA itu justru lebih banyak hapalannya.

7. “IPS Bisa Dipelajari Sendiri, Makanya Masuk IPA Aja.”

Masuk IPA karena IPS itu bisa dipelajari sendiri (not) via amaliaiklasinira.blogspot.com

Kadang karena belum tahu mau ambil jurusan apa, banyak orang memilih masuk ke Jurusan IPA. Tujuannya tentu agar kelak bisa mengambil pilihan jurusan IPS di formulir masuk perguruan tinggi. Banyak orang menyangka pelajaran IPS bisa dipelajari sendiri. Tak perlu lah menghabiskan waktu 2 tahun untuk mendalaminya.
Sekilas, pelajaran di Jurusan IPS memang bisa kamu pelajari tanpa harus bergelut dengannya setiap hari. Anggapan ini memang ada benarnya, sebab metode belajar di SMA banyak menggunakan sistem satu arah. Guru menjelaskan, murid mencatat — selesai!
Kamu akan merasakan manfaat masuk IPS saat masuk kuliah nanti. Karena belum terbiasa, anak-anak IPA yang kuliah di Jurusan IPS sering canggung saat harus membuat analisa dan mengemukakan pendapat. Berbeda dengan kamu yang anak IPS. Kamu bisa punya bekal pengetahuan sejarah dunia, teori demokrasi dan tata negara, sampai bagaimana manusia berinteraksi satu sama lain. Latar belakang ilmu yang seperti ini akan memudahkanmu ketika harus belajar teori politik, psikologi, atau ekonomi yang lebih kompleks.

8. “Iiiiiih, Anak IPS itu ‘Kan Anak Buangan!”

Apa yang anak buangan sih? via borezilla101.blogspot.com

Well, BANYAK anak IPS yang memang memilih secara sadar untuk masuk ke jurusan ini. Mereka tidak dibuang oleh siapapun. Mereka juga bukan sampah yang harus dibuang.
Jika ada seseorang yang ingin masuk IPA tapi nilainya tidak cukup hingga terpaksa masuk IPS, dia juga tidak layak disebut anak buangan. Siapa tahu justru dengan itu, kemampuannya berkembang pesat?
Harus dipahami bahwa tidak semua orang cocok belajar di kelas IPA. Mereka yang masuk Jurusan IPS memang punya kemampuan di bidang lain, yang hanya bisa dikembangkan jika mereka mendalami ilmu-ilmu sosial.

Udah lah ya, gak usah ribut siapa yang buangan dan siapa yang bukan. Belajar aja baek-baek, masuk kuliah sekarang makin susah!

9. “Jurusan IPS Itu Kesempatan Mengembangkan Dirinya Kecil. Gak Ada Kompetisi Bergengsi Khusus Anak IPS.”

Dimas Muhammad Anwar, Penerima Medali OSN Ekonomi via binasiswasmaplus.wordpress.com

12 tahun lalu, pada 2002, memang hanya mata pelajaran Akuntansi yang dikompetisikan di Olimpiade Sains Nasional (OSN). Tapi mulai tahun 2013 Geografi juga sudah punya cabang Olimpiadenya sendiri. Kesempatan bagi anak IPS untuk turut berprestasi di Olimpiade Sains paling bergengsi di negeri ini kian terbuka.
Lagipula, untuk masalah pengembangan diri masih banyak cara lain yang bisa ditempuh ‘kan? Tak hanya lewat olimpiade. Anak IPS bisa gabung ke tim debat yang di dalamnya kamu akan dilatih cara berpikir kritis dan mengembangkan pendapat. Ada juga ekstrakulikuler lain macam klub film dan klub fotografi yang bisa kamu ikuti. Gabungan dari teknologi dan seni bisa jadi kacamata yang menarik untuk membantumu menganalisa berbagai fenomena sosial yang ada.

10. “Masuk Jurusan IPS Itu Gak Ngaruh Buat Kuliah Nanti. Buktinya? Anak IPA Juga Bisa Masuk Jurusan IPS!”

Jurusanmu tetap berpengaruh

Memang benar, anak IPA juga punya kesempatan masuk ke Jurusan kuliah yang harusnya jadi jatah anak IPS.
~~Ini kadang bikin anak IPS pengen mencak-mencak karena lahannya diambil.~~ Tapi benarkah pendidikan sekian tahun di kelas IPS tidak menghasilkan apapun sebagai bekal untuk menghadapi bangku kuliah? Coba deh simak beberapa testimonial di bawah ini:

“Dulu aku sempat bingung sih di awal kuliah, pas disuruh bikin esai. Gak biasa nulis argumen, pas di SMA paling mentol bikin esai soal sistem pencernaan.”

Tia, Lulusan IPA yang kini kuliah di Jurusan Komunikasi.

“Harus adaptasi lagi ke nalar anak IPS. Di sekolah belajar makhluk hidup, tumbuhan, kok di FIKOM malah suruh neliti fenomena sosial? Ya kaget!”

Ernia, Lulusan IPA, Sarjana Fakultas Ilmu Komunikasi UNPAD.

“Aku gak biasa nulis banyak. Dulu waktu di sekolah, jawaban buat ujian anak IPA kan pendek-pendek. Waktu ujian semester pertama di bangku kuliah, aku shock lihat teman-teman nulis jawabannya panjang-panjang, hahahaha.”

Nana, Lulusan IPA yang membelot kuliah di Jurusan HI.

Bung dan Nona yang percaya bahwa anak IPA bisa belajar Ilmu Sosial tanpa perlu adaptasi… Tiga testimoni di atas menunjukkan yang sebaliknya!

Segala keputusan pada akhirnya kembali ke tanganmu, apakah hendak memilih Jurusan IPS atau jurusan lain. Satu yang pasti, tidak semua mitos yang kamu dengar tentang jurusan IPS itu sesuai kenyataan.

Semoga 10 mitos yang Hipwee paparkan ini bisa membantumu menentukan pilihan, ya. Semoga berhasil!

Minggu, 30 Agustus 2015

Daftar Simbol Matematika

Semangat malam thinkers semuanya, kali saya berbagi tentang simbol atau lambang yang digunakan dalam matematika, silahkan cekidot aja daftar simbol matematika dalam format Ms.Word dibawah ini.
Download file

Sabtu, 29 Agustus 2015

Resume Materi Matematika SMA

hai thinkers, sudah seberapa dalam pemahaman thinkers tentang Matematika SMA?
disini saya sediakan resume per bab materi Matematika dari kelas X hingga kelas XII
silahkan cekidot...

Mathematics is wonderful