Mathematics is wonderful: Persamaan Kuadrat (Part I)

Persamaan Kuadrat (PK)

Bentuk Umum PK: $ax^2+bx+c=0, a\neq 0$

Contoh PK

a. $2x^2+5x-6=0$

b. $x^2-4=0$

c. $x^2-3x=0$

d. $9-x^2=0$

Tetapi 3x-6=0 BUKAN PK

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar PK dapat dicari dengan 3 cara

a. Dengan Memfaktorkan

b. Dengan melengkapkan PK

c. Dengan Rumus abc

Contoh

Carilah Akar-akar PK berikut:

a. $x^2-5x+6=0$ (dengan memfaktorkan)

b. $2x^2+13x+15 =0$ (dengan melengkapkan kuadrat)

c. $x^2+6x+8=0$ (dengan rumus abc)

Jawab:

a. $x^2-5x+6=0$ (dengan memfaktorkan)

Langkahnya carilah2 bilangan yang jumlahnya (selisihnya) =5 dan jika dikalikan hasilnya 6. Bilngannya adalah 2 dan 3. Selanjutnya faktorkan:

(x+2)(x+3)=0

$x_{1}=-2 { dan } x_{2}=-3$

Jadi akar-akar PKnya adalah -2 dan -3

b. $2x^2+13x+15 =0$ (dengan melengkapkan kuadrat)

Cara melengkapkan kuadrat sempurna dengan cara berikut:

Jika ada PK: $ax^2+bx+c=0$ dapat diubah dengan bentuk: $\left ( x+\frac{p}{a} \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )$ di mana b=p+q, $c=\frac{pq}{a}$

Jadi $2x^2+13x+15 =0$ dapat diubah menjadi $\left ( x+\frac{3}{2} \right )\left ( x+\frac{10}{2} \right )=0$

Jadi $x_{1}=\frac{-3}{2} dan x_{2}=\frac{-10}{2}=-5$

c. $x^2+6x+8=0$ (dengan rumus abc)

Rumus: $x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x^2+6x+8=0, a=1,b=6, c=8$

$x_{1.2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4.1.8}}{2.1}$

$x_{1.2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{2.1}$

$x_{1.2}=\frac{-6\pm \sqrt{4}}{2}= \frac{-6\pm2}{2}$

$x_{1}=\frac{-6+2}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$x_{2}=\frac{-6-2}{2}=\frac{-8}{2}=-4$

Diskriminan Persamaan Kuadrat

$ax^2+bx+c=0, a\neq 0$

Diskriminan PK $D=b^2-4ac$

a. Jika D=0 maka PK mempunyai dua akar yang sama

b. Jika D>0 maka PK mempunyai dua akar real yang berbeda

c, Jika D<0 maka PK mempunyai akar real, atau kedua akarnya tidak real (imaginer)

Contoh penggunaan:

Carilaih nilai p akar persamaan kuadrat: $x^2+(p+3)x+36=0$ memiliki dua akar yang sama (akar kembar)

Jawab:

Koefisien PK $x^2+(p+3)x+36=0$ adalah a=1, b=p+3, c=36, sehingga Diskriminan=0 agar akarnya kembar: $D=b^2-4ac=0$

$D=(p+3)^2-4.1.36=0$

$\Leftrightarrow {(p+3)^2}-144=0$

$\Leftrightarrow {p^2+6p+9)^2}-144=0$

$\Leftrightarrow {p^2+6p+9}-144=0$

$\Leftrightarrow p^2+6p-135=0$

$\Leftrightarrow (p-9)(p+15)=0$

Jadi, p=3 atau p=-15

Sehingga akar-akar PK $x^2+(p+3)x+36=0$ memiliki akar kembar jika p=3 atau p=-15.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat:

Dapat dicari dengan Rumus berikut:

Jika PK: $ax^2+bx+c=0$ , dengan akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}$

$x_1\times x_2=\frac{c}{a}$

Contoh:

Persamaan Kuadrat $x^2+2x+1=0$ mempunyai akar-karanya $x_{1}$ dan $x_{2}$ tentukan $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$

Jawab:

Diketahui PK: $x^2+2x+1=0$ , a=1,b=2, dan c=1

$x_{1}=\frac{-b}{a}=\frac{-2}{1}=-2$

$x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$

$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}\times x_{2}}=\frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac {-2}{1}=-2$

Latihan

1. Persamaan Kuadrat $2 x^2-6x-12=0$ mempunyai akar-karanya $x_{1}$ dan $x_{2}$ tentukan

a. $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{1}}$

b. $x_{1}^2+x_{2}^2$

c. $x_{1}^2-x_{2}^2$

d. $x_{1}-x_{2}$

2. Misalkan persamaan kuadrat $3x^2-5kx+k+1=0$ mempunyai akar yang saling berkebalikan, $\left ( x_{1}=\frac{1}{x_{2}} \right )$ . Tentukan nilai k.

Selamat Mencoba

Mathematics is wonderful

Selasa, 17 Februari 2015

Persamaan Kuadrat (Part I)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

5 Permasalahan Persamaan Lingkaran Beserta Penyelesaiannya

Laporkan Penyalahgunaan