Matematika dan Bilangan Prima (Bagian 2)

Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang de­ngan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld-yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri berang­gapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta.1
Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan
Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpe­cahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita meng­hitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberi­kan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan ka­rena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus. Fenomena inilah yang ditemukan il­muwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan pen­ciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima.
Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubung­an dengan perencanaan universal kosmos.2
Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima.
Misalnya :
6=2x3=2.3
30=2x3x5=2.5
85 = 5 x 17 = 5 . 17
Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :
(3,5), lalu (5,7), lalu (11,13), lalu (17,19), lalu (29,37), dan seterusnya.

Sifat-sifat yang cukup penting berhubungan dengan bilangan prima.


Semua bilangan prima adalah ganjil kecuali 2.
Banyaknya bilangan prima adalah tak terhingga.
Bilangan yang berakhiran (angka satuannya)  2, 4, 5, 6, 8, dan 0 adalah bukan bilangan prima. kecuali bilangan 2 dan 5.
Teorema Hadamard Poussin mengatakan bahwa, Banyaknya bilangan prima untuk x mendekati tak terhingga dinyatakan dengan pendekatan mendekati
Dari sifat nomor 1 dikatakan bahwa semua bilangan prima adalah ganjil kecuali 2.
Dua bilangan prima yang ganjil yang berurutan disebut bilangan prima kembar.
Bisa dituliskan p dan p+2. Dan keduanya merupakan bilangan prima. Mempunyai selisih 2.
Berikut adalah beberapa pasangan-pasangan prima kembar.
(3 dan 5),  (5 dan 7),  (11 dan 13),  (17 dan 19),  (29 dan 31)
Apakah hanya pasangan-pasangan seperti itu yang merupakan pasangan bilangan prima kembar ?
Sekarang perhatikan dua bilangan berikut
100000000061  dan 100000000063 .
Keduanya merupakan bilangan prima. Dan selisih dua bilangan tersebut adalah 2. Jadi bisa dikatakan bahwa dua bilangan tersebut adalah pasangan prima kembar.
Perumusan bilangan prima yang gagal

Belum ada yang bisa menemukan secara pasti tentang perumusan bilangan prima. Di bawah ini akan diberikan beberapa perumusan yang gagal menghasilkan bilangan prima secara keseluruhan.
1.
Pernah diduga bahwa fungsi  menghasilkan bilangan prima untuk n bilangan asli. Bisa dicheck untuk n = 1, 2, 3, 4, dst. Tetapi ternyata rumus ini gagal ketika n = 41.
Karena . bukan merupakan bilangan prima.
Sekarang bagaimana dengan rumus   .
Coba temukan, untuk n berapakah dia tidak prima.

2.
Ini adalah hasil pekerjaan Fermat. Fermat pernah menduga bahwa rumus tersebut adalah menghasilkan bilangan prima. Untuk n = 0, 1, 2, 3, 4  ini merupakan benar bilangan prima. Tetapi pertumbuhan bilangannya sangat besar, sehingga orang malas menguji kebenaran bilangan itu untuk n yang selanjutnya.
Tetapi pada tahun 1732 Leonhard Euler membuktikan bahwa untuk n = 5,  G(5) = 4.294.967.297  bukan merupakan bilangan prima, karena nilai itu sama dengan 641 x 6.700.417.
Kemudian pada tahun 1880, F. Landry menunjukkan bahwa untuk n = 6 juga bukan bilangan prima.
Dan pada awal tahun 1970 untuk n = 7 juga bukan merupakan bilangan prima.
Dengan menggunakan computer terbukti yang merupakan bilangan prima hanya lima angka pertama saja.

3. .
Dinyatakan oleh Marin Marsenne dari Perancis.  Dia menyatakan bahwa untuk p bilangan prima maka bentuk   merupakan bilangan prima. Marsenne tahu bahwa untuk p = 11 akan didapatkan 2047. Yang ternyata angka tersebut bukan merupakan bilangan prima karena 2047 = 23 x 89, akan tetapi Marsenne yakin bahwa untuk p > 11, bilangan yang dihasilkan pasti bilangan prima.
Tetapi pada tahun 1903, untuk p = 67 dihasilkan 147573952588676412927 yang bukan merupakan bilangan prima karena bilangan itu sama dengan perkalian dari 193707721 x 761838257287.
Salah satu cara mencari bilangan prima yang benar yaitu menggunakan cara yang dilakukan oleh Erastothenes dari Kirene yang dikenal dengan Sieve of Erastothenes.
Langkah ini banyak digunakan siswa SD saat pengenalan bilangan prima pada saat sekolah dasar. Biasanya untuk siswa setingkat SD, bilangan prima yang dicari dibatasi dari 0 sampai 100. Dibawah ini diberikan langkah-langkah mencari bilangan prima dari 0 sampai 100.
Langkah-langkahnya :
Buat tabel bilangan berukuran 10 x 10
Coret bilangan 1 karena bukan prima
Lingkari angka 2 dan coret kelipatan 2
Lingkari angka 3 dan coret kelipatan 3
Lingkari angka 5 dan coret kelipatan 5
Lingkari angka 7 dan coret kelipatan 7
Maka nanti angka yang dilingkari dan yang belum dicoret merupakan bilangan prima.
Ukuran table bilangan tidak menjadi masalah. Hanya saja ketika table itu rapi, maka kita akan semakin mudah dalam melakukan pencoretan.
Tabel yang mudah untuk dilakukan pencoretan adalah table yang lebarnya 10 satuan atau 5 satuan. Disarankan menggunakan table seperti itu agar pencoretan lebih mudah dilakukan.


Teorema :
“Untuk setiap bilangan majemuk n ada bilangan prima p sehingga p membagi n dan p kurang dari atau sama dengan akar n”
Dari Teorema tersebut dapat disimpulkan bahwa, untuk mengecek bilangan prima dibawah n, maka kita perlu memperhatikan akar n, pencoretan hanya berhenti pada akar n atau kurang dari akar n.
Misalnya, kita akan mengecek bilangan prima dibawah 200 (0 sampai 200). Maka yang perlu kita cek hanya sampai 13. Karena bilangan prima terbesar yang lebih kecil dari akar 200 adalah 13. . Sehingga kita hanya perlu mengecek kelipatan 2, 3, 5, 7, 11, dan 13.

Tentang prima yang lain :
Jika p merupakan bilangan prima dan  habis dibagi p  maka  juga akan habis dibagi p.
Setiap bilangan asli lebih besar 1 yang merupakan bilangan majemuk (bilangan majemuk adalah bilangan asli yang bukan prima) bisa dituliskan dalam perkalian beberapa bilangan prima. Ini adalah teorema faktorisasi.
Misalkan p adalah bilangan prima. Jika p membagi ab  maka p membagi a dan p membagi b. dalam notasi teori bilangan dituliskan  jika   maka  atau .
Conjecture yang menarik. Setiap bilangan genap dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima. Umumnya dapat dinyatakan dalam satu cara. Ada juga yang dapat dinyatakan dalam dua cara, tiga cara, dst. Conjecture ini dikemukakan oleh Goldbach. Sampai saat ini masih belum ada yang bisa mebuktikan.
Ini adalah deret yang dibuat fermat. Yaitu yang terdiri dari bilangan factorial. Deret ini adalah deret bilangan prima yang gagal. Beberapa suku awal menghasilkan bilangan prima. Akan tetapi selanjutnya gagal menghasilkan bilangan prima.
3! – 2! + 1! = 5
4! – 3! + 2! – 1! = 19
5! – 4! + 3! – 2! + 1! = 101
6! – 5! + 4! – 3! + 2! – 1! = 619
7! – 6! + 5! – 4! + 3! – 2! + 1! = 4421
8! – 7! + 6! – 5! + 4! – 3! + 2! – 1! = 35899
Sampai di sini, semua bilangan yang terbentuk adalah bilangan prima. Sungguh unik bukan. Tetapi lanjutan dari deret ini bukan bilangan prima.
9! – 8! + 7! – 6! + 5! – 4! + 3! – 2! + 1! = 326981
326981 bukanlah merupakan bilangan prima. Karena 326981 = 79 x 4139.
Deret ini gagal menghasilkan bilangan prima.


13 adalah satu dari banyak bilangan prima yang lain. Banyak juga orang yang menyebut bahwa 13 adalah angka sial. Sekarang kita perhatikan jika 1 dibagi angka 13 tersebut.
  angka 076923 akan berulang terus.
Dan ternyata, angka ini unik jika dikalikan dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 12. Bilangan yang dihasilkan adalah bilangan 076923 dan 153846 dengan urutan digit-digitnya yang berbeda.
(153846 = 2 x 3 x 3 x 3 x 7 x 11 x 37)
1 x 076923 = 076923
2 x 076923 = 153846
3 x 076923 = 230769
4 x 076923 = 307692
5 x 076923 = 384615
6 x 076923 = 461538
7 x 076923 = 538461
8 x 076923 = 615384
9 x 076923 = 692307
10 x 076923 = 769230
11 x 076923 = 846153
12 x 076923 = 923076


TABEL 3.1
BILANGAN PRIMA SAMPAI DENGAN INDEKS KE-120

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29  
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71  
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113  
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173  
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229  
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281  
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349  
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409  
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463  
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541  
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601  
607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
Catatan : Angka-angka yang dicerak lebal; angka yang muncul dalam struktur al-Qur'an.
Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam se­mesta terdapat "kode kosmos" atau yang disebut cosmic code based on this order, yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.
Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam se­mesta terdapat "kode kosmos" atau yang disebut cosmic code based on this order, yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.
Bilangan Prima 19
Salah satu angka yang dipandang misterius atau unik adalah angka 19. Meskipun Pythagoras, Euler dan Gauss telah lama memikirkannya, tetapi struktur komplek ini tetap juga belum diketahui jawabannya.
TABEL 3.2
STRUKTUR BILANGAN PRIMA 19 DG KOMBINASI (10+9) & INDEKS ANGKA 8

Bilangan biasa Bilangan ganjil Bilangan genap Bilangan prima  
1 1 - -  
2 - 2 2  
3 3 - 3  
4 - 4 -  
5 5 - 5  
6 - 6 -  
7 7 - 7  
8 - 8 -  
9 9 - -  
10 - 10 -  
11 11 - 11  
12 - 12 -  
13 13 - 13  
14 - 14 -  
15 15 - -  
16 - 16 -  
17 17 - 17  
18 - 18 -  
19 19 - 19  
Keterangan 10 angka 9 angka 8 angka
Tabel di atas sengaja ditampilkan sebagi pengenalan awal, karena dalam al-Qur'an banyak digunakan struktur (10 + 9), atau kombinasi (11 + 8) dalam bilangan prima 19.
19 dan 81
Dr. Peter Plichta ahli kimia dan matematika dari Jerman3 berpendapat bahwa, tampaknya, semua formula matematika dan angka-angka berhubungan dengan dua kutub matematika alam semesta ini. Angka 81 spesifik karena melengkapi angka 19, (19 + 81= 100). Jumlah angka-angka tersebut adalah 19: 1 + 9+8+1=19.
Bila kita analisis sedikit lebih lanjut, terdapat hubungan angka-angka tersebut dengan cara:
1:19 = 0,0526315789473684210526
Angka yang berulang secara periodik, berulang dengan sendirinya tepat pada digit ke-19 sesudah koma, dan, yang me­narikjumlah dari angka-angka tersebut ( 0 + 0 + 5 + 2 + 6 + 3 + 1 + 5 + 7 + 8 + 9 + 4 + 7 + 3 + 6 + 8 + 4 + 2 + 1 ) adalah 81 !
Sekarang:
1 : 81 = 0,012345679 ....
Ups! Angka 8 terlewat, padahal angka yang lain secara periodik muncul.
Hilangnya angka 8 adalah ilusi, dan nilai resiprokal angka 81 adalah "alamiah", menghasilkan satu seri sistem desimal bilangan 0,1, 2 .... dan seterusnya; dan sistem itu bukan buatan manusia. Tetapi mengapa angka 8, bukan angka lainnya, yang "hilang"? Diduga, karena angka 8 berhubungan dengan angka 19. Bilangan prima ke-8 adalah 19.
Dalam budaya Cina kuno, angka 8 melambangkan yat kwa, delapan penjuru angin, jalan menuju ke harmoni - keseimbangan kehidupan dengan alam sekelilingnya. Dalam al-Qur'an, angka 8 merupakan jumlah malaikat,force, yang menjunjung 'Arsy (Kursi, Singgasana), mengatur keseimbangan'Arsy, yang bermakna power and authority dominion, baik sebelum maupun saat Kiamat (al-Haqqah 69 : 17). Sebagian mufasir, seperti Mu­hammad Abdul Halim, menerjemahkan 'Arsy dengan "Majelis Langit"4 atau "Wilayah Pemerintahan Kosmos". Wilayahnya tidak terbatas, "di bawah 'Arsy terdapat (unsur) air" (Hud 11 : 7). Berlimpah unsur hidrogen, elemen kimia yang paling ringan dari unsur air, H2O. Jauh lebih luas dari alam semesta yang diketahui.
Komunikasi Interstelar
Baik penulis fiksi ilmiah, misalnya Dr. Carl Sagan dalam bukunya Contact, maupun para pemikir sains, seperti Galileo, Euclid, telah lama berpendapat bahwa bilangan prima adalah bilangan universal yang diyakini merupakan bahasa alam semesta, bilangan yang ada hubungannya dengan desain kos­mos, dan dalam operasionalnya banyak dipakai manusia untuk security system -kodetifikasi - enkripsi. Termasuk kemungkin­an untuk komunikasi interstellar, antargalaksi, dan komunikasi dengan ETI, Extra-Terrestrial Intelligent.5
Pesan berkode dari Frank Drake, penemu kriptogram, dikirimkan kepada para ilmuwan dalam upaya mengatasi kesu­litan menemukan arti sinyalartificial extraterrestrial (datang dari luar angkasa, tidak dikenal). Pesan tersebut terdiri dari 1271 garis (1271 adalah bilangan prima) angka 1 dan nol (atau bit). Kunci kode dikenali karena 1271 adalah hasil kali dua bilangan prima 31 dan 41, sehingga informasi dapat diperlihatkan de­ngan 41 garis dengan 31 bit tiap garis atau 31 garis dengan 41 bit tiap garis. Kemungkinan pertama tidak berarti, tetapi ke­mungkinan kedua mempunyai gambaran yang lebih berarti. Bernard Oliver salah satu penerima sinyal dari Frank Drake, sesama ilmuwan, dapat memecahkan kode tersebut. Di mana kemungkinan ini memberikan prospek komunikasi antara makhluk-makhluk di alam semesta dengan spesies yang sama, bahasa yang sama. Kriptogram Frank Drake dapat memecahkan kesulitan komunikasi antargalaksi dengan makhluk berinteligensia tinggi lainnya atau ETI, Extra-Terrestrial Intelligent.

Faktanya, para astronom dan ilmuwan matematika me­mang percaya bahwa bilangan biner dan bilangan prima adalah dasar dari komunikasi di alam semesta.
Usaha pertama untuk menghubungi makhluk angkasa luar (SETI) terdiri dari pesan yang diarahkan ke gugus bintang (al­Buruj) M 13 tanggal 16 November 1974, melalui Arecibo radio teleseoye. Pesan Arecibo singkat, hanya 1679 bits informasi, dikenali karena merupakan hasil perkalian bilangan prima 23 dan 73. Disusun 73 baris di mana setiap baris terdiri dari 23 karakter biner, "1" dan "0". lnformasi memuat nomor atom elemen biologi yang membentuk senyawa DNA, lokasi bumi dalam tata surya, ukuran dan jumlah manusia di bumi, angka 1 sampai 10, dan deskripsi dari teleskop yang digunakan. Pesan ini ditransmisikan dari bumi ke galaksi lain dengan jarak 25 ribu tahun cahaya.6
1. Abdullah Arik, Beyond Probability - God's Message in Mathematics, Journal, Submission organisation, hal. 2.
2. Contohnya adalah Dr. Carl Sagan dan Frank Drake, yang menemukancryptogram untuk komunikasi antar-bintang: pemecah kode komunikasi dari sinyal ETI, Extra Terrestrial Intelligent.
3. Baca lebih lanjut Peter Plichta, God's Secret Formula, atau situs-situs dariDr. Peter Plichta.
4.Baca Muhammad Abdul Halim, Memahami Al-Qur'an, atau Maulana Muhammad Ali, The Religion of Islam. Di sisi sains, 'Arsy adalah wilayahhyperspace, dimensi lebih tinggi dari alam semesta kita yang dikenal. Isi alam semesta, 5% objek angkasa seperti bintang dan planet-planet, 25% dark matter, dan sisanya 70 % adalah dark energy. Elemen kimia, hidrogen, unsur air melimpah ruah (99,9% ), karena H adalah elemen paling ringan. Bintang baru mengubah hidrogen menjadi elemen kimia yang lebih berat, helium. BacaEncyclopedia Outerspace dari David Darling atau keterangan ahli kosmos Sir Martin Rees dan ahli Fisika Teori Dr. Michio Kaku: Our Cosmic' Habitat danPaarallel Universes.
5.http://www.angelfire.com/on2/daviddarling/Drakecrypto.htm, diterima 23 Desember 2003. Dari 1000 bintang terdekat, telah disisir dengan program komputer belum ada tanda-tanda keberadaan ETI. Namun para ilmuwan tidak putus asa, karena jumlah bintang di luar angkasa jauh lebih banyak daripada jumlah butiran pasir di planet Bumi.
6. Ibid, http://www.angelfire.com/on2/daviddarling/AreciboM.htm, diterima 27 Desember 2003. Antena Arecibo ini diketahui sebagai antena terbesar yang dipasang di planet Bumi, berlokasi di Peru.
Sumber: Matematika Alam Semesta





Definisi Bilangan Prima Serta Faktorisasi Prima
Bilangan primamerupakan bilangan asli yang lebih besar dari satu serta faktorpembaginya adalah satu dan bilangan itu sendiri.
Yang termasuk dalam anggota bilangan prima yaitu {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …}. Dalam matematika tidakada bilangan prima yang terbesar karena jumlah dari bilangan prima tak berhingga.
Sepertinya untuk definisi serta yang anggota bilangan prima sudah jelas, sehingga sekarang kita akan bahas tentang Faktorisasi Prima. Yang dimaksud dengan faktorisasi prima adalah pembentukan suatu bilangan ke dalam bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima
Terdapat dua cara mencari faktorisasi prima, yaitu:
1. Menggunakan pohon faktor
Perhatikan contoh berikut ini
sehingga faktorisasi prima dari 30 adalah 2x3x5
sehingga faktorisasi prima dari 864 adalah 2x2x2x2x2x3x3x3







2. Menggunakan pembagian bersusun
Perhatikan contoh berikut ini.
sehingga faktorisasi prima dari 30 yaitu 2x3x5
Hasilnya akan sama baik kita mencari menggunakan pohon faktor ataupun pembagian bersusun. Berdasarkan pengetahuan matematis sekarang, bilangan yang paling sulit difaktorisasi adalah bilangan semiprima yaitu bilangan yang merupakan hasil perkalian dua bilangan prima.











PRIBADI BILANGAN PRIMA
Bilangan komposit dapat berupa bilangan genap atau bilangan ganjil.
Bilangan 1 hanya mempunyai satu pembagi, yaitu dirinya sendiri, maka 1 bukan bilangan bilangan prima dan bukan bilangan komposit.
            Berdasarkan penjelasan tersebut, maka himpunan bilangan asli terbagi menjadi tiga kelompok, yaitu 1, bilangan prima, dan bilangan komposit. Sekarang akan dikaji makna bilangan prima secara matematika. Perhatikan tabel berikut untuk melihat perbedaan bilangan prima dan bilangan komposit.





Tabel Perbandingan Bilangan Prima dan Komposit Berdasar Pembaginya

Prima Komposit  
Bilangan Pembagi Bilangan Pembagi  
7 1, 7 9 1, 3, 9  
11 1, 11 10 1, 2, 5, 10  
17 1, 17 20 1, 2, 4, 5, 10, 20  
29 1, 29 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30  
97 1, 97 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Berdasarkan tabel tersebut terlihat bahwa ketika bilangan prima difaktorkan dan faktornya dijejer mulai yang terkecil sampai yang terbesar akan diperoleh bilangan prima tersebut selalu berdekatan dengan 1. Tidak ada pembagi lain yang menghalangi bilangan prima itu sendiri dengan 1. Sebaliknya, pada bilangan komposit diperoleh bahwa bilangan itu selalu dihalangi oleh pembagi lain untuk dekat dengan 1. Semakin besar bilangan komposit tersebut, maka penghalang antara bilangan itu dengan 1 cenderung semakin banyak. Jadi, bilangan prima selalu dekat dengan 1, sedangkan bilangan komposit mempunyai penghalang untuk dekat dengan 1.

Bilangan Prima ( Bagian 3)

Kalian pasti sudah mengenal bilangan Prima (Prime Number). Bilangan prima adalah bilangan Asli yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Contoh 2, 3, 5, dan seterusnya. Bilangan 1 bukan bilangan Prima karena hanya mempunyai satu faktor. Bilangan yang bukan 1 dan bukan bilangan Prima disebut bilangan komposit. Salah satu dalil yang terkenal berbunyi, Setiap bilangan komposit merupakan perkalian bilangan-bilangan Prima. Dalil tersebut dikenal sebagai Teorema Dasar Aritmetika. Nah, berapa banyak bilangan Prima yang kalian tahu?

Eratosthenes mempunyai suatu metode untuk mendapatkan bilangan prima pada rentang tertentu. Metode itu diberi nama saringan Eratosthenes (Eratosthenes Sieve). Misalkan kita akan mencari bilangan Prima yang kurang dari n, dengan n bilangan Asli, maka modal kita adalah bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan . Sebagai contoh, kita akan mencari bilangan Prima di antara 1 dan100. Kita tahu bahwa , dan bilangan Prima yang kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, dan 7. Selanjutnya kita daftarkan bilangan 1 sampai 100 dalam tabel 10 x 10. Kemudian lakukan langkah berikut:

• Coret angka 1
• Coret semua bilangan kelipatan 2, kecuali 2
• Coret semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3. Pada langkah ini, bilangan yang sudah dicoret tidak perlu dicoret lagi.
• Coret semua bilangan kelipatan 5, kecuali 5.
• Coret semua bilangan kelipatan 7, kecuali 7. Pada langkah ini bilangan yang dicoret hanya 49, 77, dan 91.

Cukup sampai 7, karena Prima terbesar yang kurang dari  adalah 7. Bilangan yang tidak tercoret merupakan bilangan Prima. Sampai di sini kita dapatkan bilangan Prima yang terletak di antara 1 dan 100, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97. Ada 25 bilangan prima antara 1 dan 100. Kalian bisa mempercepat proses itu dengan bantuan excel. Lihat caranya pada bagian bawah.

Secara umum, jika kita akan mencari bilangan Prima dari 1 sampai bilangan n, maka kita cari dulu bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan . Setelah itu lakukan langkah-langkah pencoretan bilangan seperti di atas sampai pada bilangan prima yang kurang dari  tersebut. Pada contoh di atas , dan bilangan prima yang kurang dari atau sama 10 adalah 7. Jadi, pencoretan bilangan dari 1 sampai 100 berhenti di kelipatan bilangan 7. Anda bisa mencoba untuk bilangan Prima yang kurang dari 200.

Sejak dulu banyak matematikawan yang berusaha membuat rumus untuk mencari bilangan Prima. Pada kasus tertentu rumus itu benar, tetapi pada kasus yang lain ternyata salah. Oleh karena itu, sampai saat ini belum ada rumus yang dalam waktu singkat dapat menentukan bilangan Prima. Meskipun demikian, kita tentu kagum dengan upaya para matematikawan tersebut karena pencarian itu membawa mereka belajar banyak hal.
Beberapa rumus yang menghasilkan bilangan Prima untuk beberapa kasus adalah sebagai berikut:

•  untuk n bilangan Asli. Rumus ini menghasilkan bilangan Prima untuk n=1,2,,3,dst, tetapi untuk n=41 rumus tersebut gagal karena menghasilkan 412 yang jelas bukan merupakan bilangan Prima.
•  untuk n bilangan Asli. Rumus ini diciptakan oleh Fermat, seorang Matematikawan dari Perancis. Rumus tersebut memberikan bilangan Prima untuk n=0,1,2,3,dan 4 , tetapi gagal untuk n=5 dan n=6.
•  dengan p bilangan Prima yang telah diketahui. Rumus ini diciptakan oleh Marsenne. Untuk beberapa nilai p rumus tersebut menghasilkan bilangan Prima, tetapi untuk p=11 rumus tersebut menghasilkan bilangan komposit (bukan Prima).

Jadi, sampai saat ini cara yang meyakinkan adalah menggunakan saringan Eratosthenes.

Ada berapa banyak bilangan Prima? Euclides dari Yunani membuktikan bahwa ada tak hingga banyak bilangan Prima. Meskipun demikian, para ahli matematika sepanjang masa berusaha mencari terus bilangan Prima yang lebih besar dari yang diketahui saat ini. Pencarian bilangan Prima merupakan salah satu pekerjaan yang menyenangkan bagi beberapa pakar matematika dan komputer. Pencarian ini seperti mendaki Puncak Everest, kata George Woltman, seorang pakar ilmu komputer. Bedanya, Everest memilik puncak sehingga pendakian suatu saat berhenti, sedangkan bilangan Prima tidak akan tidak akan terhenti karena memang tidak ada bilangan Prima terbesar. Artinya, jika sekarang ditemukan bilangan Prima lebih dari bilangan prima yang telah diketahui, maka kelak pasti akan ditemukan lagi bilangan Prima yang lebih besar.

Harian Kompas tanggal 6 Februari 2013 memberitakan penemuan bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia saat ini. Bilangan Prima tersebut adalah . Ini merupakan bilangan Prima yang masuk kelompok bilangan Prima Marsenne, yaitu bilangan Prima yang berbentuk . Bilangan Prima tersebut memiliki 17.425.170 digit (angka). Kita bisa bayangkan betapa panjangnya bilangan tersebut jika ditulis di kertas. Jika menggunakan ukuran huruf seperti pada tulisan di buku ini, maka bilangan Prima tersebut panjangnya sekitar 34,85 km.

Bilangan prima terbesar ini ditemukan oleh matematikawan dari University of Central Missouri, Curtis Cooper. Bilangan prima ini adalah bilangan prima besar ketiga yang berhasil ditemukan oleh Cooper. Penemuan bilangan prima terbesar dilakukan lewat upaya kolektif lewat Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), misi yang dibantu 360.000 prosesor, mengoperasikan 150 triliun penghitungan per detik. Proses pengecekan lewat komputer dilakukan untuk mengonfirmasi penemuan. Atas penemuannya tersebut Curtis Cooper memperoleh hadiah $ 3000. Bilangan Prima bentuk Marsenne dapat dilihat di http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima_Mersenne
Sebelumnya bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia adalah  yang ditemukan pada tahun 2008. Bilangan ini memiliki 12.978.189 digit. Proses menemukan bilangan Prima tersebut dapat dilakukan dengan cara Saringan Eratosthenes. Namun, butuh waktu bertahun-tahun untuk mendapatkan bilangan Prima berikutnya. Barangkali tidak akan selesai seumur hidup manusia. Oleh karena itu, komputer canggih dengan kecepatan luar biasa diperbantukan untuk mencari bilangan Prima tersebut. Ini pun membutuhkan komputer dalam jumlah yang banyak.

 
Fakta lain yang menarik dari bilangan Prima adalah bilangan Prima kembar (Twin Prime Numbers), yaitu dua bilangan Prima yang berurutan. Sebagai contoh (2,3), (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (18383549,18383551) dan seterusnya. Pertanyaannya adalah: Apakah pasangan bilangan Prima kembar tersebut ada berhingga buah atau ada tak hingga buah? Sampai saat ini belum ada matematikawan yang berhasil menjawab pertanyaan tersebut.

 
Nah, jika kalian berminat mencari bilangan Prima yang cukup besar, kita bisa manfaatkan Microsoft Excel dengan modal bilangan Prima yang sudah kita tahu dari saringan Eratosthenes, yaitu 2, 3, … ,97. Cara yang akan kita gunakan pun menggunakan saringan Eratosthenes. Dengan modal bilangan Prima yang kurang dari 100 tersebut, kita bisa mencari semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Mengapa bisa begitu? Ingat untuk mencari bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita harus mempunyai bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan . Jad, jika kita mempunyai semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita bisa mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan .

 
Untuk keperluan tersebut, kita pelajari dulu operasi MOD. Mod adalah operasi Aritmetika untuk mencari sisa hasil bagi dari dua buah bilangan. Misalnya, 16 Mod 3 = 1 karena 16 dibagi 3 (hasilnya 5) sisanya 1. Jadi, 15 mod 3 = 0 (dengan kata lain 15 habis dibagi 3 atau 3 adalah faktor dari 15), 23 mod 4 = 3 (dengan kata lain 23 tidak habis dibagi 3 atau 3 bukan faktor dari 23).

 
Konsep yang harus dipahami untuk mencari bilangan Prima yang lebih dari 100 dan kurang dari atau sama dengan 10.000 adalah: Jika bilangan tersebut habis dibagi 2, 3, … ,97, maka bilangan tersebut BUKAN bilangan Prima. Misalnya kita akan memeriksa apakah 101 bilangan Prima atau bukan, maka harus dicek 101 mod 2, 101 mod 3, 101 mod 5, …, 101 mod 11. Jika hasil salah satu operasi di atas sama dengan nol, maka 101 bukan bilangan Prima (komposit). Sebaliknya, jika hasil semua operasi di atas tidak sama dengan nol (≠0), maka 101 adalah bilangan Prima.
Langkah pertama adalah menuliskan bilangan ganjil dari 101 sampai 10.000 pada kolom A (Ingat bilangan Prima yang kurang dari 100 sudah kita tahu). Pada sel B1 ketik:
=IF(OR(MOD(A101;2)=0;MOD(A101;3)=0;MOD(A101;5)=0;MOD(A101;7)=0;MOD(A101;11)=0;MOD(A101;13)=0;MOD(A101;17)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;23)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;31)=0;MOD(A101;37)=0;MOD(A101;41)=0;MOD(A101;43)=0;MOD(A101;47)=0;MOD(A101;51)=0;MOD(A101;53)=0;MOD(A101;59)=0;MOD(A101;61)=0;MOD(A101;67)=0;MOD(A101;71)=0;MOD(A101;73)=0;MOD(A101;79)=0;MOD(A101;83)=0;MOD(A101;89)=0;MOD(A101;91)=0;MOD(A101;91)=0;);”—“;”Bil. Prima”)
Copy sel B1 pada B2, B3, dan seterusnya. Maka kita mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Ada 1207 bilangan Prima yang didapat. Jika digabung dengan hasil sebelumnya (bilangan Prima yang kurang dari 100) maka kita memperoleh 1232 bilangan Prima.

Perintah OR dalam Excel adalah memilih salah satu atau semuanya. Sintak perintahnya adalah =OR(pilihan_1;pilihan_2,…,pilihan_k). Perintah MOD dalam Excel adalah untuk mencari sisa pembagian suatu bilangan. Sintak perintahnya adalah =MOD(bilangan yang dibagi;bilangan pembagi). Contoh =MOD(14;5) akan menghasilkan 4.
Dengan hasil tersebut kita juga bisa mendapatkan bilangan Prima kembar. Jika kalian tertarik, maka pencarian berikutnya adalah bilangan Prima yang kurang dari 100.000.000 dengan modal bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Tentu membutuhkan waktu yang lama untuk mengetik perintah di Excel. Dengan melakukan peekrjaan tersebut, kalian sudah menyerupai pekerjaan Curtis Cooper.
Dengan cara yang sama, kita bisa memeriksa pada n atau p berapa rumus-rumus , , dan  menghasilkan bilangan Prima dan bukan bilangan Prima.
Untuk apa matematikawan mencari bilangan Prima yang sangat besar? Sebenarnya itu merupakan salah satu kesenangan. Namun di balik itu, bilangan Prima yang besar digunakan untuk membuat sandi. Gagasannya sederhana, jika kita mempunyai dua bilangan Prima, maka mudah bagi kita untuk mengalikannya. Tetapi jika kita mempunyai bilangan komposit (hasil perkalian sejumlah bilangan Prima yang besar), maka sangat sulit bagi siapa pun untuk memfaktorkannya. Sandi diperlukan jika kita akan mengirim suatu pesan, tetapi pesan itu tidak ingin diketahui oleh pihak musuh. Untuk memahami hal tersebut, silakan download dihttp://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/01/matematika-persandian.pdf.

Penemu Angka Nol: Muhammad bin Musa Al Khawarizmi

Dunia Eropa atau “Dunia Barat” dari dulu hingga kini, sepertinya mengklaim bahwa Gudang Ilmu Pengetahuan berasal dari kawasan Eropa atau ‘dunia barat’.

Tapi tahukah anda, sejatinya asal Gudang Ilmu Pengetahuan berasal dari kawasan Timur Tengah yaitu Mesopotamia yang menjadi peradaban tertua di dunia?

Masyarakat dunia sangat mengenal Leonardo Fibonacci sebagai ahli matematika aljabar.

Namun, dibalik kedigdayaan Leonardo Fibonacci sebagai ahli matematika aljabar ternyata hasil pemikirannya sangat dipengaruhi oleh ilmuwan Muslim bernama 

Muhammad bin Musa Al Khawarizmi.

Dia adalah seorang tokoh yang dilahirkan di Khiva (Iraq) pada tahun 780. Selama ini banyak kaum terpelajar lebih mengenal para ahli matematika Eropa / Barat padahal sejatinya banyak ilmuwan Muslim yang menjadi rujukan para ahli matematika dari barat.

Namun pada masa kejayaan Islam, mereka tak memperlakukan suatu penemuan atau suatu keilmuan baru, menjadi ajang pengeruk keuntungan. Artinya, pada masa itu tak ada yang dinamakan “HAK PATENT” yang bertujuan untuk mambayar sejumlah uang jika penemuannya digunakan oleh pihak lain.

Hak patent  adalah “produk Barat”, dimana pada masa lalu banyak sekali penemu dari dunia Islam. Kemudian buku dan literatur penemu-penemu di dunia Islam ini kembali dibaca dan dipelajari, lalu para penemu barat mempetenkannya! Itulah sebabnya hanya dikenal ilmuwan dari dunia Barat yg sebenarnya ilmu-ilmu tersebut dari masa kejayaan Islam.

Selain ahli dalam matematika al-Khawarizmi, yang kemudian menetap di Qutrubulli (sebalah barat Bagdad), juga seorang ahli geografi, sejarah dan juga seniman. Karya-karyanya dalam bidang matematika dimaktub dalam Kitabul Jama wat Tafriq dan Hisab al-Jabar wal Muqabla. Inilah yang menjadi rujukan para ilmuwan Eropa termasuk Leonardo Fibonacce serta Jacob Florence.

Muhammad bin Musa Al Khawarizmi inilah yang menemukan angka 0 (nol) yang hingga kini dipergunakan. Apa jadinya jika angka 0 (nol) tidak ditemukan? Tak akan ada rumus Einstein dan rumus lainnya, bahkan tak akan ada ilumu matematika semaju sekarang.

Selain itu, dia juga berjasa dalam ilmu ukur sudut melalui fungsi sinus dan tanget, persamaan linear dan kuadrat serta kalkulasi integrasi (kalkulus integral). Tabel ukur sudutnya (Tabel Sinus dan Tangent) adalah yang menjadi rujukan tabel ukur sudut saat ini.

al-Khawarizmi juga seorang ahli ilmu bumi. Karyanya Kitab Surat Al Ard menggambarkan secara detail bagian-bagian bumi. CA Nallino, penterjemah karya al-Khawarizmi ke dalam bahasa Latin, menegaskan bahwa tak ada seorang Eropa pun yang dapat menghasilkan karya seperti al-Khawarizmi ini.

Misteri Bilangan Lubang Hitam : 123

alam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi "tidak kelihatan".

Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka.

Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.

Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123.

Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos.

Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan.

Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?

Skala Angka Pengukuran dalam Pandangan Statistik

Skala pengukuran merupakan, satu pengetahuan yang sangat penting sebelum seseorang melakukan pengolahan data. Skala pengukuran pertama kali diperkenalkan oleh S.S. Steven. Namun, sering kali hal ini dianggap remeh dan diabaikan. Pada dasarnya setiap tools (alat bantu hitung) statistik tidak bisa digunakan begitu saja, ada persyaratan (asumsi yang harus dipenuhi), misalnya : skala data, distribusi data, independensi data, dan variabilitas data.

Berdasarkan sifatnya, ada empat pembedaan skala :

1. Skala nominal

Sifat : membedakan.
Contoh : jenis kelamin (laki-laki, perempuan), agama (Islam, Katolik, Kristen, Hindu, Budha).
Contoh metode statistik : chi-square, crostab, analisis korespondensi, regresi logistik, latent profile analysis.

2. Skala ordinal

Sifat : membedakan, ada urutan.
Contoh : tingkat pendidikan (SD, SMP, SMU, Perguruan tinggi), nilai akreditasi (A, B, C, D, E).
Contoh metode statistik : korelasi spearman, ordinal logistic regression, attribute agreement analysis.

3. Skala interval

Sifat : membedakan, ada urutan, memiliki jarak yang sama.
Contoh : usia, skor penilaian test psikologi.
Contoh metode statistik : korelasi pearson, analisis regresi, analisis faktor, K-means cluster, diskriminan.

4. Skala rasio

Sifat : membedakan, ada urutan, memiliki nilai nol mutlak.
Contoh : nilai penjualan (sales), jumlah pelanggan.
Contoh metode statistik yang dapat digunakan :korelasi pearson, analisis regresi, analisis faktor, K-means cluster, analisis diskriminan, analisis time series.

Filosofi Bilangan Prima (Bagian 1)

Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld - yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta. 

Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan

Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.

Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.

Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima. Misalnya : 

6 = 2 x 3 = 2 . 3
30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 585 = 5 x 17 = 5 . 17

Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya : 

(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)

dan seterusnya.

Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat  "kode kosmos"  atau yang disebut cosmic code based on this order,  yang dikenal juga sebagaiTheory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.

Lapangan Pekerjaan Menarik Menggunakan matematika

Pertanyaan paling jamak dan sering dikemukakan oleh siswa adalah apa manfaat belajar matematika? Pekerjaan apa yang nantinya terkait dengan ilmu matematika yang saat ini saya pelajari?

Setiap kali kita memikirkan pekerjaan yang melibatkan matematika, mungkin secara otomatis kepikiran seorang akuntan, atau manajer bank, atau sesuatu yang seperti itu. Padahal sebenarnya ada beberapa pekerjaan lain yang memerlukan penggunaan matematika yang mungkin tampak sedikit lebih menarik.
Inilah beberapa pekerjaan yang menggunakan matematika:

Pembalap

Berapa kecepatan terakhir saya di lap sebelumnya? Berapa banyak detik saya tertinggal atau meninggalkan? Berapa banyak lap yang bisa saya tempuh dengan tangki penuh? Seberapa cepat saya bisa membuat pit-stop? Berapa banyak tenaga kuda yang dihasilkan mesin ini? Apakah yang dimaksud tenaga kuda? Berapa banyak yang dapat RPM mesin saya membuat sebelum redline? Apa itu RPM? Berapa banyak tekanan udara yang saya perlukan untuk ban saya? Berapa tekanan oli mesin kendaraan saya? Semua ini menggunakan matematika.

Astronot / Bekerja di Industri Ruang Angkasa
Apakah yang dimaksud escape velocity? Seberapa tinggi orbit Space Shuttle? Berapa banyak waktu yang dibutuhkan sampai peluncuran? Berapa jam penerbangan yang harus saya lakukan agar memenuhi syarat? Seberapa dingin di luar atmosfer bumi? Apa yang dimaksud dengan kekuatan gravitasi? Berapa banyak kekuatan yang dihasilkan oleh roket pendorong? Berapa diameter bumi? Seberapa jauhkah planet Mars? Semua ini menggunakan matematika.

Pilot pesawat tempur
Seberapa tinggi aku terbang? Berapa kecepatan maksimum pesawat? Berapa banyak bahan bakar yang saya miliki? Seberapa jauh saya dapat terbang dengan tangki penuh? Jika musuh berada di pukul 5 apa artinya? Bagaimanpa arah dan kecepatan angin? Apakah yang dimaksud dengan F14? Berapa banyak rudal yang masih tersisa? Ke arah mana aku terbang? Apakah yang dimaksud kecepatan super sonic? Apa itu altimeter? Berapa besar derajat putaran yang saya butuhkan? Seberapa jauh posisi saya dari target atau markas? Semua ini menggunakan matematika.

Komentator Olahraga
Berapa banyak gol per pertandingan yang dia torehkan? Dari jarak berapa meter dia menembak? Seberapa cepat smash yang dilakukannya? Berapa banyak waktu yang tersisa dalam pertandingan? Dimana hasil ini akan menempatkan mereka di klasemen liga? Berapa peluang mereka lolos babak kualifikasi? Semua ini menggunakan matematika.

Radio DJ atau Engineer Radio
Berapa menit tersisa untuk lagu berikutnya? Kapan iklan komersial selanjutnya? Berapa banyak watt hal ini stasiun radio menghasilkan? Apakah arti FM atau AM? Jika stasiun radio berada di 104,4 FM apa artinya? Apakah waktu itu? Dapatkah saya memainkan musik 40 menit nonstop? Semua ini menggunakan matematika.

Photographer
Berapa ukuran lensa yang saya perlukan? Seberapa jauh jarak saya dengan objek gambar? Berapa banyak intensitas cahaya? Berapa sudut tembak yang saya ambil? Seberapa jauh saya harus memperbesar atau memperkecil? Film Berapa banyak yang saya butuhkan? Rekaman Berapa banyak yang tersisa?
Semua ini menggunakan matematika.


Banyak ide-ide pekerjaan yang menggunakan Matematika. Contoh di atas hanya sebagian kecil ide untuk membukakan pikiran tentang seberapa penting penggunaan matematika yang kita pelajari di sekolah dalam kehidupan nyata sehari-hari.
Semoga tulisan saya tentang Lapangan Pekerjaan Menarik Menggunakan matematika ini dapat memberikan manfaat. Terima kasih.

Download Materi PowerPoint Kelas X, XI, dan XII

Selamat pagi, Thinkers....

Dalam rangka untuk mempermudah siswa dalam mengakses ilmu pengetahuan, khususnya pada mata pelajaran matematika SMA/MA maka saya sharing Media Pembelajaran PowerPoint matematika sebagai berikut :

1. Bentuk Pangkat dan Akar 
2. Sistem Persamaaan Linier 
3. Persamaan dan Fungsi Kuadrat  
4. Pertidaksamaan  
5. Logika Matematika  
6. Trigonometri  
7. Dimensi Tiga  
8. Statistika 
9. Peluang  
10. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers  
11. Limit Fungsi  
12. Turunan  
13. Program Linier  
14. Matriks  
15. Barisan dan Deret

Silahkan download modul tersebut dan semoga dapat memberikan manfaat buat kemajuan pendidikan di Indonesia.

Biografi dr Lo Siaw Ging - Dokter Teladan

Hampir semua masyarakat Solo pasti sudah tahu atau mengenal nama dr Lo Siaw Ging, Dokter yang satu ini menjadi buah bibir di Solo maupun di media karena kedermawanannya, meskipun usianya yang sudah lanjut, selama ia berpraktik menjadi dokter, ia tidak pernah meminta bayaran dari pasien yang ia obati, bahkan terkadang ia membantu pasien yang tidak mampu menebus obat dengan uang yang dimiliki

Mitos-Mitos Tentang Jurusan IPS yang Tak Seharusnya Kamu Percaya

Hidup adalah rangkaian keputusan-keputusan penting. Bahkan sejak masih duduk di bangku SMA, kita sudah dituntut menentukan arah hidup dengan memilih jurusan: IPA, IPS, atau Bahasa. Ini bukan keputusan main-main. Pilihanmu akan menentukan jurusan kuliah yang nantinya kamu ambil.
Bagi yang memilih atau berencana memilih jurusan IPS, kamu akan kerap mendengar berbagai omongan tak enak di telinga. Jurusan IPS memang gudangnya mitos. Buat kamu yang sedang belajar di jurusan IPS, atau yang berencana memilih jurusan ini saat penjurusan, please, jangan gentar ya. Jangan percaya mitos-mitos di bawah ini begitu saja!

1. “Jangan Masuk IPS , IPS Itu Isinya Anak-Anak Nakal!”

Belum tentu anak nakal, dan belum tentu anak IPS….

Entah sejak kapan mitos ini berkembang, anak IPS memang sering dipandang sebagai pelajar nakal. Kamu pun bukan tidak mungkin mendapat stigma ini ketika masuk jurusan IPS. Barangkali ini karena ada temanmu sesama anak IPS yang terkenal sebagai “preman sekolah” atau “anak geng”.
(ngobrol sama kenalan dari sekolah lain)

Teman: “Ambil jurusan apa?”
Kamu: “IPS dong.”
Teman: “Wuih, sekelas sama si Anu dong?” (nama disamarkan, pokoknya dia preman sekolah)
Kamu: “Iya…”
Teman: (dalam hati: Nih bocah…jilbaban tapi gahar juga ya? Temenannya sama preman.)

Mungkin dia lupa. Anak IPA juga banyak yang ikut tawuran. Lagipula, dengan level keberanian dan kemampuan bela diri yang kamu miliki, satu-satunya peran yang mungkin kamu ikuti dalam tawuran adalah seksi konsumsi buat bikinin minum.
YA KALI TAWURAN ADA BREAK MINUM :”)
Dalam kelas IPS juga banyak anak yang serius belajar dan berprestasi, kok. Di kelas IPA juga ada anak nakalnya. Melabeli semua anak IPS sebagai “anak nakal” tentu bukan perilaku adil.

2. “Kamu Masuk IPS Karena Nilainya Gak Cukup Ya Buat Masuk IPA?”

Banyak yang tidak tahu kamu memilih masuk IPS via wwwheriyanti-heriyanti.blogspot.com

(3 bulan sebelum penjurusan di Ruang BK)

Guru BK: “Kamu yakin mau masuk IPS? Nilaimu cukup lho buat masuk IPA…”
Kamu: “Iya Bu, yakin kok.”
Guru BK: “Oke, pilih IPS ya berarti.”

Sering dikira nilainya nggak cukup untuk masuk IPA via gtpapschallengessept2011.pbworks.com

(3 bulan setelah penjurusan)

Anak IPA 1: “Eh, si Jali kenapa sih masuk IPS? Nilainya gak cukup ya buat masuk IPA?”
Anak IPA 2: “Mungkin iya deh. Nilai Kimianya sih bagus terus, nggak tahu deh Fisika sama Biologinya gimana.”
Anak IPA 1: “Yah, kasian yah… Jadi masuk IPS deh.”

*Kamu yang sedang jalan mau ke kantin lewat di depan mereka*

Anak IPA 1&2: *memandangmu dengan tatapan iba*

Tidak semua orang percaya bahwa keputusanmu mengambil jurusan IPS adalah berdasarkan PILIHAN, bukan KEADAAN. Rasanya pengen bilang:

“Mas, saya juga bisa masuk IPA Mas. Tapi emang milih masuk IPS. Kalau lihat nilai mata pelajaran IPA saya nanti pengen tukeran raport loh. Huft.”

3. “Masuk IPS? Nanti Sempit Lho Pilihan Jurusan Kuliahnya…”

Kalau boleh jujur, pilihan jurusan yang khusus IPA juga nggak banyak-banyak amat. Mari kita bandingkan:

Kedokteran, Jurusan favorit anak-anak IPA via nurulichiarsya.blogspot.com

Pilihan Jurusan Khusus Anak IPA:

• Jurusan Teknik: Teknik Mesin, Teknik Elektro, Teknik Sipil, Teknik Nuklir, dll.
• Jurusan di Fakultas MIPA: Biologi, Kimia, Fisika, Matematika, Statistik
• Jurusan Perikanan
• Jurusan Pertanian
• Jurusan di Fakultas Kehutanan
• Kedokteran, Keperawatan, Gizi Kesehatan

Fakultas Hukum dan FISIP, idola anak IPS via agungharis.wordpress.com

Pilihan Jurusan Khusus Anak IPS:

• Jurusan Ekonomi: Ilmu Ekonomi, Akuntasi, Manajemen
• Jurusan Sosial: Ilmu Politik dan Pemerintahan, HI, Sosiologi
• Jurusan Ilmu Komunikasi
• Jurusan Ilmu Hukum
• Semua Jurusan Sastra
• Jurusan Antropologi
• Jurusan Filsafat
• Jurusan Psikologi

Sebenarnya jurusan khusus anak IPA jumlahnya tidak lebih banyak dari jurusan yang bisa dimasuki anak IPS. Anak IPA memang umum “menyeberang” ke Jurusan IPS lewat program IPC, tapi bukan berarti pilihan jurusan kuliah anak IPS itu sempit. Justru jurusan-jurusan IPS adalah jurusan yang menarik, hingga anak IPA ingin turut bersaing mendapatkannya.

4. “Jurusan IPS itu Pelajarannya Gampang.”

Tidak saudara, tidak mudah! via padmanaba.or.id

Beban pelajaran IPS, IPA, dan Jurusan Bahasa sebenarnya sama. Yang membedakan adalah fokus belajarnya. Anak IPA mempelajari ilmu-ilmu eksakta yang melibatkan banyak hitungan dan menantang logika. Anak Bahasa dididik untuk mengembangkan kemampuan verbal dan memperkaya diksi. Sedang anak IPS diajari untuk mengembangkan kemampuan analisa dan kepekaan terhadap fenomena sosial.
Tidak ada yang lebih “gampang” dari semua jurusan yang tersedia. Lagipula, bukankah ‘gampang’ dan ‘sulit’ itu tergantung kita?
Buat anak IPA, belajar Sejarah dan Geografi bisa membuat mereka senewen. Lebih mudah menghitung volume air dan menghafal tabel periodik. Untuk anak IPS, pelajaran IPA memang terlihat memusingkan. Tapi ini karena mereka memang tidak diajarkan menghitung kelembaman relatif ataupun optika fisis.

5. “Pasti Kamu Masuk IPS Biar Gak Ketemu Hitung-Hitungan.”

Jangan salah sangka, hitung-hitungan itu tetap perlu via padmanaba.or.id

Sebentar.

IPS juga punya pelajaran Matematika, yang kini juga di UN-kan. Di IPS juga ada Akuntansi dan Ekonometri, yang sama-sama membutuhkan kemampuan berhitung. Anak IPS tetap harus berhubungan dengan angka dan logika berhitung. Bedanya, kemampuan berhitung anak Jurusan IPS memang tidak disiapkan untuk hitung-hitungan eksakta.
Jadi, kalau kamu masuk IPS karena ingin menghindari pelajaran berhitung, bersiaplah untuk sakit hati ya!

6. “Anak IPS Pasti Hapalannnya Kuat Ya?”

Tidak semua anak IPS hapalannya kuat via krjogja.com

Orang kadang salah menyangka, mengira pelajaran IPS bisa dimengerti hanya dengan menghapalnya. Padahal pelajaran di Jurusan IPS bukan semata (atau malah bukan sama sekali) soal hapalan. Anak IPS sebenarnya dibentuk untuk mampu melakukan analisa dan memiliki kemampuan riset.
Dalam pelajaran Sosiologi, anak IPS akan diajak memahami teori-teori sosial yang bisa digunakan sebagai pisau analisa untuk melihat berbagai fenomena sosial yang ada, seperti menjamurnya mall dan pengaruhnya terhadap perilaku konsumtif masyarakat, relevansi nasionalisme di tengah gencarnya globalisasi dan populernya teori kosmopolitanisme, atau pengaruh Instagram terhadap bagaimana kita menentukan pilihan makanan.
Bagaimana caranya menghapal hal-hal di atas?
Di mata pelajaran Ekonomi dan Akuntansi anak IPS belajar tentang berbagai teori ekonomi dan manajemen keuangan. Tujuannya tentu bukan untuk sekedar tahu, teori dan kemampuan ini kelak bisa dimanfaatkan untuk mengamati tren ekonomi, pun sebagai alat bantu untuk menganalisa kondisi keuangan sebuah badan usaha.
Ilmu Sosial tak akan berguna kalau sekadar dihapal. Mereka juga harus dapat digunakan untuk menjelaskan berbagai fenomena sosial. Sesungguhnya kalau soal hapal-menghapal, anak-anak Kedokteran, Biologi, dan Kimia yang notabene pasti anak IPA itu justru lebih banyak hapalannya.

7. “IPS Bisa Dipelajari Sendiri, Makanya Masuk IPA Aja.”

Masuk IPA karena IPS itu bisa dipelajari sendiri (not) via amaliaiklasinira.blogspot.com

Kadang karena belum tahu mau ambil jurusan apa, banyak orang memilih masuk ke Jurusan IPA. Tujuannya tentu agar kelak bisa mengambil pilihan jurusan IPS di formulir masuk perguruan tinggi. Banyak orang menyangka pelajaran IPS bisa dipelajari sendiri. Tak perlu lah menghabiskan waktu 2 tahun untuk mendalaminya.
Sekilas, pelajaran di Jurusan IPS memang bisa kamu pelajari tanpa harus bergelut dengannya setiap hari. Anggapan ini memang ada benarnya, sebab metode belajar di SMA banyak menggunakan sistem satu arah. Guru menjelaskan, murid mencatat — selesai!
Kamu akan merasakan manfaat masuk IPS saat masuk kuliah nanti. Karena belum terbiasa, anak-anak IPA yang kuliah di Jurusan IPS sering canggung saat harus membuat analisa dan mengemukakan pendapat. Berbeda dengan kamu yang anak IPS. Kamu bisa punya bekal pengetahuan sejarah dunia, teori demokrasi dan tata negara, sampai bagaimana manusia berinteraksi satu sama lain. Latar belakang ilmu yang seperti ini akan memudahkanmu ketika harus belajar teori politik, psikologi, atau ekonomi yang lebih kompleks.

8. “Iiiiiih, Anak IPS itu ‘Kan Anak Buangan!”

Apa yang anak buangan sih? via borezilla101.blogspot.com

Well, BANYAK anak IPS yang memang memilih secara sadar untuk masuk ke jurusan ini. Mereka tidak dibuang oleh siapapun. Mereka juga bukan sampah yang harus dibuang.
Jika ada seseorang yang ingin masuk IPA tapi nilainya tidak cukup hingga terpaksa masuk IPS, dia juga tidak layak disebut anak buangan. Siapa tahu justru dengan itu, kemampuannya berkembang pesat?
Harus dipahami bahwa tidak semua orang cocok belajar di kelas IPA. Mereka yang masuk Jurusan IPS memang punya kemampuan di bidang lain, yang hanya bisa dikembangkan jika mereka mendalami ilmu-ilmu sosial.

Udah lah ya, gak usah ribut siapa yang buangan dan siapa yang bukan. Belajar aja baek-baek, masuk kuliah sekarang makin susah!

9. “Jurusan IPS Itu Kesempatan Mengembangkan Dirinya Kecil. Gak Ada Kompetisi Bergengsi Khusus Anak IPS.”

Dimas Muhammad Anwar, Penerima Medali OSN Ekonomi via binasiswasmaplus.wordpress.com

12 tahun lalu, pada 2002, memang hanya mata pelajaran Akuntansi yang dikompetisikan di Olimpiade Sains Nasional (OSN). Tapi mulai tahun 2013 Geografi juga sudah punya cabang Olimpiadenya sendiri. Kesempatan bagi anak IPS untuk turut berprestasi di Olimpiade Sains paling bergengsi di negeri ini kian terbuka.
Lagipula, untuk masalah pengembangan diri masih banyak cara lain yang bisa ditempuh ‘kan? Tak hanya lewat olimpiade. Anak IPS bisa gabung ke tim debat yang di dalamnya kamu akan dilatih cara berpikir kritis dan mengembangkan pendapat. Ada juga ekstrakulikuler lain macam klub film dan klub fotografi yang bisa kamu ikuti. Gabungan dari teknologi dan seni bisa jadi kacamata yang menarik untuk membantumu menganalisa berbagai fenomena sosial yang ada.

10. “Masuk Jurusan IPS Itu Gak Ngaruh Buat Kuliah Nanti. Buktinya? Anak IPA Juga Bisa Masuk Jurusan IPS!”

Jurusanmu tetap berpengaruh

Memang benar, anak IPA juga punya kesempatan masuk ke Jurusan kuliah yang harusnya jadi jatah anak IPS.
Ini kadang bikin anak IPS pengen mencak-mencak karena lahannya diambil.  Tapi benarkah pendidikan sekian tahun di kelas IPS tidak menghasilkan apapun sebagai bekal untuk menghadapi bangku kuliah? Coba deh simak beberapa testimonial di bawah ini:

“Dulu aku sempat bingung sih di awal kuliah, pas disuruh bikin esai. Gak biasa nulis argumen, pas di SMA paling mentol bikin esai soal sistem pencernaan.”

Tia, Lulusan IPA yang kini kuliah di Jurusan Komunikasi.

“Harus adaptasi lagi ke nalar anak IPS. Di sekolah belajar makhluk hidup, tumbuhan, kok di FIKOM malah suruh neliti fenomena sosial? Ya kaget!”

Ernia, Lulusan IPA, Sarjana Fakultas Ilmu Komunikasi UNPAD.

“Aku gak biasa nulis banyak. Dulu waktu di sekolah, jawaban buat ujian anak IPA kan pendek-pendek. Waktu ujian semester pertama di bangku kuliah, aku shock lihat teman-teman nulis jawabannya panjang-panjang, hahahaha.”

Nana, Lulusan IPA yang membelot kuliah di Jurusan HI.

Bung dan Nona yang percaya bahwa anak IPA bisa belajar Ilmu Sosial tanpa perlu adaptasi… Tiga testimoni di atas menunjukkan yang sebaliknya!

Segala keputusan pada akhirnya kembali ke tanganmu, apakah hendak memilih Jurusan IPS atau jurusan lain. Satu yang pasti, tidak semua mitos yang kamu dengar tentang jurusan IPS itu sesuai kenyataan.

Semoga 10 mitos yang Hipwee paparkan ini bisa membantumu menentukan pilihan, ya. Semoga berhasil!